圆锥曲线与方程 圆锥曲线与平面向量交汇题的六大类型

原标题:二次曲线与平面向量的六类相交问题

由于平面向量具有代数表示和几何表示的特点，它成为表达二次曲线问题的重要载体。这类问题往往以二次曲线为主线，集向量、函数、方程、不等式、数列等知识于一体，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点。这里有六类这样的问题供参考。

分析:建立坐标系，设置C点的坐标，将向量之间的关系转化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。

分析:建立如图所示的直角坐标系，有一个，椭圆方程是

如果C点的坐标是，那么B点的坐标就是

也就是说，

必须

代入公式得到

然后c

将被代入椭圆方程，

因此，椭圆方程是

例2:已知△OFQ的面积。让以O为中心，F为焦点的双曲线通过Q，

当得到最小值时，求这个双曲方程。

分析:设定Q点的坐标，将向量的量积和长度转化为代数表达式，然后求目标函数的最小值，从而确定双曲方程。

分析:设双曲方程为

必须

因此，双曲线方程是

类型2:找到要确定的字母的值

例3:让双曲线和直线在两个不同的点a和b相交，直线和y轴在点p相交，求a的值..

分析:设置A点和B点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，然后利用vieta定理通过解方程求出A的值。

分析:假设

因为

同时发生的

，消除y并排列:

从A和B是两个不同的点，得到

起来

和

也就是说

解决方案是:

解决方案是:

因为，所以

类型3:移动点的轨迹

例4:如下图所示，运动直线在a点与y轴相交，在b、c两个不同点与抛物线相交，满足以下要求。求△POA重心q的轨迹。

分析:将矢量表达式转化为坐标表达式，通过剔除参数得到重心Q的轨迹方程。然后通过判别式确定实数K的范围，确定轨迹的形状。

解析:通过

获取:

经过

建立

然后

经过

经过

和

消除k以获得:

设定重心

替代公式:

不久

可用和

因此，点q的轨迹方程是它的轨迹在一条直线上，不包括该点的线段AB。

类型4:定值证明

例5:已知椭圆的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，斜率为1，通过椭圆右焦点f的直线在a点和b点与椭圆相交，并与其共线。设m是椭圆上的任意一点，其中。

证明:是固定值。

分析:设置点A、B、M的坐标，将向量之间的共线关系和和差关系转化为代数关系，然后利用方程、维埃塔定理、椭圆上满足方程的点等证明其不动点。

证明:设椭圆方程为

直线AB的方程式是

代入椭圆方程并简化

建立

通过了解问题的含义和共线性，我们可以得到:

又

因此

然后呢

所以椭圆方程是

设置者:

也就是说，

因为m是椭圆上的一个点，所以

也就是说，

然后

和

替代公式:是固定值。

类型5:探索点和线的存在

例6:在△ABC中，d和△ABC的垂直h点与有向线段的比值为。设置，那么是否有h点，这样

变成算术级数？为什么呢？

分析:首先将运动点H的轨迹方程转化为代数关系得到，然后将向量的长度关系转化为代数关系，通过求解代数方程得到解。

分析:让它由点的坐标公式得到。

因为H比较关心，所以

也就是说，

完成后，移动点H的轨迹方程为

假设

然后变成算术级数

也就是说，

H在椭圆上，p和q是焦点

也就是说，

作者:

同时可用:

可用，显然满足方程

所以，有一点，就是做等差数列。

类型6:求相关量的取值范围

例7:给定一条抛物线，f是c的焦点，通过f的直线在a点和b点与c相交，计算y轴截距的变化范围。

分析:设置A点和B点的坐标，将向量之间的共线关系转化为坐标关系，然后求Y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。

分析:假设，得到:

也就是说，

作者:

因为，所以

同时:

所以，或者

当直线垂直于X轴时，不符合题意。

因此，直线的方程式是或。

y轴上直线的截距为或。

从知识来说，它在世界上减少了，所以

因此，直线l在y轴上的截距范围为。

由上可见，解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系转化为代数关系。