魏尔斯特拉斯 德国十位数学家排排座：从天才到超神

转自:数学算法俱乐部

对哲学花园的认知

德国近代史上诞生了许多伟大的数学家，其中特别挑选了十位个人感觉最好的数学家。本文仅代表个人观点，不喜勿喷。

坎特

等级:天才

类型:创意突破

代表性成就:

1.集合论

2.超贫数论

简短评论:

最具革命性的数学家坎特已经接触无限两千多年了，但他却无法把握和理解它。这确实是对人类的尖锐挑战。坎特以其独特的思维、丰富的想象力和新颖的方法，画出了一幅人类智慧的杰作——集合论和超贫数论，震惊了19、20世纪之交的整个数学界乃至哲学界。毫不夸张地说，“关于数学的无限革命几乎是他一个人完成的。”他创立的集合论已成为现代数学基础理论的大厦。

九号墙

等级:天才

类型:主

代表性成就:

1.群论

2.积分方程

3.黎曼曲面

简短评论:

希尔伯特的继承人对表象理论、李代数、微分拓扑、复几何等分支做出了基础性的贡献。由于对数学各个学科的研究日益广泛和深入，在庞加莱和希尔伯特去世后，现代已没有熟悉数学各个领域的数学家。韦尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”。

NO8。狄利克雷的

等级:天才

类型:突破性突破

代表性成就:

1.解析数论

2.数学分析

3.数学物理

简短评论:

狄利克雷在数学和力学方面都做出了巨大的贡献，尤其是在分析、数论和位势论方面。

“狄利克雷是一位富有洞察力的数学家，他对现代函数的概念给出了准确的解释”。并提出了单值函数的新概念，还提出了所谓的“狄利克雷函数”，所谓的“狄利克雷积分”等等。他还在势论、热力学、磁学、数学物理等方面有所创新。

并提出了单值函数的新概念，还提出了所谓的“狄利克雷函数”，所谓的“狄利克雷积分”等等。他还在势论、热力学、磁学、数学物理等方面有所创新。

NO7。雅可比

等级:超级天才

类型:主

代表性成就:

1.代数学

2.椭圆函数理论

3.复变函数理论

简短评论:

雅各布对数学有着深刻的见解，他的数学天赋已经无法用天才来形容。他可怕的心算能力估计在历史上仅次于欧拉。他的工作包括代数、变分法、数学分析、复变函数理论和微分方程，以及数学史研究。连接不同的数学分支是他的研究特色。他不仅将椭圆函数理论引入数论的研究中，得到了同余理论和类型理论的一些结果，还将其引入积分理论。积分理论的研究与微分方程的研究有关。此外，尾乘原理也是他提出的。

现代数学中的许多定理、公式、泛函恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根、行列式以及许多数学符号都被命名为雅可比，可见雅可比的成就对后世影响深远。

NO6。Willerstrass

等级:超级天才

类型:史诗突破

代表性成就:

1.数学分析

2.严格微积分

3.复变函数理论

4.提出ε-N语言和ε-δ语言

简短评论:

劳伟是一个具有深刻洞察力和观察力的超级数学天才。他用ε-δ语言系统地奠定了实分析和复分析的基础，基本完成了分析的算术性和严密性，被誉为“现代分析之父”。

他对严格的微积分做出了巨大的贡献。通过澄清极小极大、极大、函数、导数等概念。，他排除了微积分中仍然出现的各种错误表述，清理了关于无穷和无穷小的各种混乱概念，果断克服了因无穷和无穷小的朦胧思想而产生的困难。

今天，和谐、可靠和完美的分析程度在本质上可以归功于威尔斯特拉斯的科学活动。

NO5。诺特

等级:超级天才

类型:革命性突破

代表性成就:

1.抽象代数

2.诺特定理

3.数学物理

简短评论:

她的研究领域是抽象代数和理论物理。她善于通过透彻的洞察建立优雅的抽象概念，然后将它们优美地形式化。她彻底改变了环、域和代数的理论。

她从不同领域的相似现象出发，对不同的对象进行抽象和公理化，然后统一处理，从而完成了这篇重要的论文《环中理想论》。这是一个伟大的数学创造，标志着抽象代数真正成为数学的一个分支，或者说标志着这个数学分支现代化的开始。因此，诺特获得了“现代数学代数的伟大先驱”和“抽象代数之母”的美誉。

NO4。莱布尼兹

等级:准神

类型:百科全书式的数学家

代表性成就:

1.结石

2.数学逻辑

3.数学符号

4.拓扑学

简短评论:

德国哲学家、数学家，历史上罕见的多面手，被称为17世纪的亚里士多德。

莱布尼茨几乎精通他那个时代的所有数学分支，拓扑学是当代最难的数学分支之一，最早是由他提出的。他发明的微积分比牛顿的更简单更先进，他的微积分和数学符号几乎在世界上占据主导地位。。。。。。

第三名:希尔伯特

等级:准神

类型:数学的无冕之王

代表性成就:

1.不变理论

2.代数数域理论

3.几何学

简短评论:

作为20世纪的数学教父，他的丰功伟绩几乎涵盖了当时数学的所有分支，对基础数学做出了开创性的贡献。

1900年8月8日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，他提出了23个新世纪数学家应该努力解决的数学问题，被认为是20世纪数学的最高点。对这些问题的研究极大地促进了20世纪数学的发展，在世界范围内产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学的一面旗帜。希尔伯特被称为“数学的无冕之王”，是天才中的天才。

关于和庞加莱的学术竞争？

即使现代双子座，也叫庞加莱，不如高斯、欧拉等领袖，希尔比特的数学成就也几乎是达摩级别的。

在大众的影响上，《教父》超越了庞加莱，23道数学题奠定了《教父》全球数学领袖的地位。他的弟子和孙子遍布数学领域；但平心而论，纯数学的学术成就不如庞加莱。最重要的是，他认为最重要的成就——希尔伯特所追求的公理系统，被击碎了，输给了庞加莱辉煌的直观系统。所以学术上，希尔伯特最终不如庞加莱重要，数学家的影响力应该排在20世纪庞加莱之后。

PS:下面两位重量级人物并不局限于德，而是有绝对实力在世界范围内争夺NO1数学家的荣耀，所以我想从世界的角度来写，值得我在《资本论》中特写。

NO2。高斯

等级:上帝

类型:统治时代

代表性成就:

1.算术探索

2.表面固有微分几何

3.概率论的正态分布

4.高斯奇妙定理

5.高斯电磁定律

简短评论:

作为古典数学大师、现代数学的重要启蒙者和奠基人，普林斯的成就涵盖了数学的各个分支，被公认为数论史上第一人、几何史上top5、初等数论大师、代数数论鼻祖、现代微分几何鼻祖。他对概率论有很大的贡献，在非欧几里得几何、代数数论、椭圆函数论和椭圆积分以及电磁学方面都做了早期的一系列工作，

普林斯的学术成果遍布数学的各个领域和分支，而且极其深刻和完整。毫无疑问，高斯是有史以来最伟大的数学家之一！特别是在学术广度、综合性、公众影响力和在数学史上的地位等方面，高斯基本上被公认为数学之王和历史第一人。

但是，如果看个人学术成就的意义、开拓性和重要性，以及对数学本身和后世的影响和辐射力，高斯绝不是历史第一人，甚至前三都没有排名。

在学术成就和深度上，开拓性、高斯和黎曼相差太远，无法相提并论，而高斯至少比黎曼差两三个档次，所以他基本上不是同档次的数学家。

与庞加莱相比，两者都具有全面性和广度，在深度和完成度上几乎相同。但是庞加莱的拓扑学比高斯的要难很多，拓扑学对现代物理的渗透远远超过高斯的物理渗透。而且庞加莱的拓扑学是数学中心结构，无法和王子的任何成就相比，所以王子不如庞加莱，差了一半到一个等级。

就数学成就而言，其实高斯和欧拉、希尔伯特、格罗滕迪克差不多，单就数学成就而言，高斯甚至不如伽罗瓦、阿贝尔！然而，高斯考虑到了时代的因素，在他那个时代取得了如此广泛而全面的成就。在学术成就相近的前提下，王子比希尔伯特、诺特、格罗滕迪克早了近百年，确实可敬可佩，所以他把王子排在德国第二，世界第二。

但可以肯定的是，在未来的过程中，高斯的学术排名和影响力会进一步降低。随着代数几何和群论、表象理论和几何朗朗地进一步发展，我们将感受到格罗滕迪克、庞加莱和希尔伯特的伟大，他们的学术成就排名未来可能超过高斯！而且不排除未来会有更强的数学家，所以世界第二的高斯是不稳定的。

但高斯在严密性和抽象性上优于欧拉，在深度、完备性和全面性上优于阿贝尔和伽罗瓦，暂时排名世界第二是合适的。

我们来谈谈高斯的伟大之处:

1.在数学史上，没有人能比得上广度和厚度。王子是数学史上第一个与欧拉并列的全才，在抽象性和严密性上甚至超越了欧拉。在他那个时代，数论当之无愧是历史第一，几何史上的前五。他在代数领域也取得了比阿贝尔和伽罗瓦更强的成就。在分析领域，他仅次于魏斯特拉斯，柯西、黎曼、阿贝尔等几人都略微领先于他。换句话说，在1840年之前，王子是绝对的统治人物，是牛顿和欧拉之后的数学家。1840年之前，高斯在数论、几何、代数、分析四个数学领域都取得了顶尖的成就，无人能比！无论是阿贝尔·伽罗瓦还是威勒斯·特拉斯·雅各比，他们无疑都是他的学生。虽然后来者在某些领域超越了高斯，但高斯无疑有自己完整的统治时代！王子的全面性值得历史第一。黎曼庞加莱在代数上是弱的，格罗滕迪克希尔伯特、庞加莱、阿贝尔和伽罗瓦在几何拓扑上是弱的，欧拉在整体严格性和抽象严格性上不如普林斯，柯西在成就的重要性上明显不同于高斯。换句话说，在19世纪40年代群论和椭圆函数论逐渐出现之前，高斯是历史第一人是无可争议的。

2.早期智慧的传说，引领时代的神话！高斯早期智慧的传说千古流传，给他的公众影响力带来了耀眼的光环。19岁就超越了法国3L数学家的成就和地位，年纪轻轻就登上了数学的神坛，成为当时数学家们崇拜的至高偶像，拥有无与伦比的声望、权威、威望和地位！即使在今天，很多专业或业余数学家和爱好者都认为高斯是历史第一！

3.高斯的数学笔记无疑是他辉煌数学生涯的最好注脚！太子死后整理的笔记中的很多结论，甚至是当时的杰出成就，都是在1814年之前完成的。它们包括数论、分析、几何和代数的成就，是当时最先进的东西。他们研究了高阶代数方程、分圆方程，甚至发现了椭圆函数的双周期性。这些成就一直领先，直到亚伯和伽罗瓦出现。伽罗瓦的理论得到认可，几乎是从19世纪40-50年代开始的，换句话说，高斯未发表的笔记已经领先时代几十年。如果高斯当时没有追求完美，而是发表了这些作品，那就直接在他的基础上进行数学研究，至少会前进40-50年！

这也是高斯伟大数学生涯的惊人智力表现！

4.王子是个MoMo，他不喜欢也不擅长教学。虽然有很多由顶级数学家组成的豪华粉丝群体，但他在传道方面并不出众。

然而，高斯却有一个名字照耀着黎曼，历史上最强的数学家弟子！虽然黎曼没有受到高斯教学的影响，与高斯的接触也很少，但黎曼可以看作是高斯从哥廷根体系中的得意门生。在黎曼的博士论文和就职演说中，数学史上最伟大、最辉煌的篇章，高斯给予了黎曼最大的支持和最高的赞誉！

大高斯的缺点:

1.最大的不足:19世纪现代数学最重要的标志性成就，没有一个是王子独立开创的！现代数学的标志性成果，如黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、严格分析基础、复变函数论等等，没有一个是高斯创立的！虽然高斯在几乎所有领域都做出了突出的贡献，但他并不是一个决定性的人物，由于群论中的伽罗瓦和阿贝尔，椭圆函数论中的阿贝尔和雅可比在工作中超越了高斯，黎曼、柯西和威勒斯特拉斯在复分析和分析基础以及复函数论方面取得了最大的成就。虽然高斯被认为是非欧几何的创始人之一，但他没有公开发表论文，完成度也不如罗巴切夫斯基和鲍耶。虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人，但统一非欧几何、微分几何和椭圆几何的黎曼几何却是由黎曼创立的。即使在高斯最强数论领域，高斯数论的著作也没有黎曼猜想重要，只有8页长。

而且，高斯只统治了初等数论，对代数数论和解析数论的贡献很小，甚至不如黎曼、戴德金和狄利克雷！几乎所有19世纪近代数学最重要的标志性成就，都不属于高斯！是不是很神奇？在很多人眼里，历史上第一位数学家，没有一项成就能排在19世纪最重要的顶尖成就之列！

这太尴尬了！换句话说，会严重伤害很多高斯粉脆弱的心灵，那就是高斯显然被高估了，尤其是在学术成就上！高斯远没有从九霄云外控制数学！这样吹嘘高斯的粉丝恐怕不知道高斯做了什么，也不知道其他学者做了什么。

所以，高斯在学习成绩上的排名必然会继续下滑！毫无疑问！从广度、厚度、全面性来看，高斯无疑可以说是历史第一人。可以说，高斯完成了很多人共同完成的工作，这是一个智力奇迹，但要论深度、精准、开拓、洞见、颠覆，高斯显然逊色不少。事实上，在1854年高斯以几何为基础听黎曼就职演说的那一天，王子就被黎曼远远超越了！从那天起，王子就不是历史上最好的了！因为高斯的诸多学术成就，没有一项能列在顶尖行列，这种不足决定了太子其实是被称赞的！

2.关于高斯的数学笔记！

这不仅是高斯的一大亮点，也是最大的黑点之一！不可否认的是，高斯死后整理出来的笔记即使在当时看来也是一部优秀的作品。如果早一点发表，数学至少早3445年推广！但问题是，这些成就在高斯生前并没有公开发表！因为高斯追求完美人格，所以没有发表。什么叫高斯笔记的结果其实并不完美，还有很多不足！高斯研究了高阶方程的解，但发现群论的优点属于伽罗瓦和阿贝尔。高斯发现了椭圆函数的双周期性，但阿贝尔和雅可比对椭圆函数的研究要比高斯深入得多！高斯有非欧几何的思想，但是完成度不如罗巴切夫斯基和鲍耶！

高斯一生都在为解决几何基本问题而奋斗，而这些问题在他死前就已经被黎曼解决了！最小二乘法和二次倒数率勒让德还发现正态分布高斯的发明权必须与德莫尔、拉普拉斯等共享

你什么意思？也就是说，其实正是因为高斯当时并没有发表这些成就，而是实际上已经被他同时代的人做出或者超越了！换句话说，不管有没有高斯，这些结果仍然会出现，而高斯对这些数学结果的诞生影响不大。

当高斯的笔记在高斯死后正式出版时，这些成果其实已经过时了，不再是尖端的东西！一些王子崇拜并喋喋不休地谈论高斯的笔记有多伟大和可笑。其实说这些笔记出版的时候一文不值有点伤人，但实际情况几乎是这样的。尤其是对于职业数学家来说，高斯的笔记还是有很多启发的，但基本都不是什么前沿的东西。几何的发展遵循黎曼的思想，代数群论的发展遵循阿贝尔和伽罗瓦的思想，分析和幂级数。随着威勒斯特拉斯和柯西思想的发展，数论主要沿着狄利克雷、黎曼和戴德金的思想发展，数学中最重要的发展不再与高斯的笔记甚至高斯本人有关

高斯的笔记体现了高斯的全才和早期智慧，体现了高斯惊人的天赋。但是，即使高斯正式发表的完成度极高的论文并不是拔尖的开创性成果，更何况这些完成度不足、存在缺陷的成果呢？

奉承高斯没关系。高斯曾经是我的偶像。我也是高斯的脑粉，但禁止胡说八道。高斯不是万能的。正是因为这些笔记没有在第一时间出版，所以每一个分支都被同龄的数学家或者学生超越，所剩无几。这也是数学史上的一大遗憾。

如果这些笔记在写作的时候出版，即使有缺陷，也仍然是陌生而前沿的，足以引导后人走得更远，大大改进数学史的进程，这是毫无疑问的！问题是高斯笔记出版的时候内容已经被超越了！

高斯的笔记体现了他惊人的全能、早期智慧、个人能力和天赋，相当于当时大多数顶尖数学家的成就。多么惊人的智慧！但是从学术意义上来说，其实高斯留下的笔记价值不大，尤其是对于19、20世纪的现代数学，可以忽略不计！这也大大削弱了高斯应得的实际形象力和学术地位！

3.高斯以他早期的智慧而闻名。他是个年轻的天才，已经传了几百代了。但纵观高斯的职业生涯，他早年是出类拔萃的，但到了晚年，似乎就没那么辉煌了。作为当时的主导因素，早慧传说在数学的各个分支领域都做出了突出的贡献，全能程度无与伦比。从整体学术成就来看，高斯是数学史上的里程碑，是古典数学的集大成者，是18世纪下半叶至19世纪上半叶统治数学的学者。高斯一定是历史上最强的数学家之一！然而，随着数学的发展，尤其是在对后世影响最大的19世纪，人们发现，当代数学最伟大的标志性成果几乎没有一个是由高斯创立和完成的。在几何、分析、代数甚至数论的某些领域，所有的分支在高斯去世之前就已经被其他学者超越了，这个黑点高斯无论如何都无法跨越，这与17世纪牛顿的完全法则和18世纪欧拉的完全法则不同。在时代的统治力上，高斯不如牛顿欧拉，在洞察力、创造力和颠覆力上，高斯不如同时代的黎曼、阿贝尔、伽罗瓦和后世的庞加莱，希尔伯特与后世的格罗滕迪克相比毫无优势。甚至在高斯活着之前，他就被黎曼完全超越了。所以注定高斯永远不可能成为数学史上的第一人！个人认为，高斯排名第二。考虑到各种学术因素，目前还勉强可靠。因为与欧拉相比，其实从横向的时代来看，普林斯和欧拉的综合学术成就，几乎与他人不相上下，而与19世纪高斯的统治力相比，18世纪欧拉的统治力显然更有说服力。然而，高斯在抽象性和严密性上超越了很多。就学术理论而言，普林斯和欧拉都是杰出的全能天才，对各个领域的分支都做出了同级别的贡献。但是，高斯在深度和完成度上略胜欧拉。欧拉是分析的体现，无论是对数理论还是微分几何，高斯同时是最好的。欧拉的成就相对众多但分散，而高斯的成就更系统，所以高斯仍然领先于欧拉。

与希尔伯特、格罗滕迪克、庞加莱相比，高斯的学术成就与20世纪的三位大师几乎相当，学术完成度和深度、贡献度和影响力也不相上下。即使在未来，这三个人也有可能超越高斯的地位，他们对现当代数学的影响是直接而突出的，他们的学术难度也远高于高斯。

但是高斯最大的优势就是时代的优势。与这两位大师相比，高斯比这两位大师早一百年做出同等水平和分量的学术成就！这三位大师的学术影响力需要更多的时间来检验。也许再过一两百年，这些大师的地位可能会超过高斯，但现在排在高斯之前并不合适。

与伽罗瓦和阿贝尔相比，虽然伽罗瓦和阿贝尔引发了群论和结构化抽象代数的思潮，但却成为当代数学最重要的数学范式和浪潮，并深刻影响了物理学。可以说，高斯的成就无人能比。

在思想、洞察力和创造力方面，高斯和这两个年轻人差距很大。特别是群论和抽象结构数学已经主导了当代数学，这种影响是无与伦比的。当代数学与高斯时代的东西相去甚远，对后世的影响也是难以超越的。但是，高斯数学成果的全面性和完备性远远超过伽罗瓦和阿贝尔，而且高斯在时代各大分支都取得了顶尖的成就，而阿贝尔和伽罗瓦更像是代数党徒，阿贝尔的分析还可以，但是他对几何数论的贡献可以忽略不计，而伽罗瓦本人几乎没有对几何分析数论做出贡献！总的综合成绩来看，高斯已经超过了阿贝尔。伽罗是很多！其次，即使说到阿贝尔，伽罗瓦的代表性群论和结构化抽象数学思想，这当然是极其辉煌的，高斯也没有与之相媲美的成就，但问题是伽罗瓦·阿贝尔只是开启了群论和抽象代数的思想并在萌芽中取得了突破，但由于其短暂的一生，并没有取得更实质性的突破，也就是说，虽然伽罗瓦·阿贝尔和他的妻子表现出了深刻的洞察力和创造力， 但更多的是一位创始人初露头角的思想，群论和抽象代数的主要成果更多是由庞加莱、希尔伯特、格罗滕迪克、戴德金等后人完成的，也就是说，伽罗瓦·阿贝尔的成果在成就完成程度上仍然是原始的、粗糙的，并没有实质性地统治或改变数学。 在这方面，伽罗瓦和阿贝尔远远落后于黎曼。本来，如果伽罗瓦·阿贝尔再活二三十年，保持这样的创造力，就可以和庞加莱甚至黎曼抗衡，数学成就史上前三四年就没有高斯了。

与伽罗瓦·阿贝尔相比，高斯的学术完成度远高于他们，尤其是数论和微分几何的成就，基本上终结了古典数学时代，塑造了领域和研究。而且，高斯在数学的各个分支都取得了广泛的杰出成就，在1840年甚至1850年之前都处于领先地位。在这方面，阿贝尔和伽罗瓦无法与高斯相比。因此，高斯的整体数学成绩比阿贝尔·伽罗瓦高出一半到一个等级，没有争议。综上所述，高斯目前排名历史第二，暂时合适。

NO1。黎曼

等级:超神

类型:超越时代

代表性成就:

1.黎曼几何

2.黎曼曲面，流形

3.黎曼洛奇定理

4.黎曼映射定理

5.黎曼猜想

简短评论:

从纯数学学术成就来看，黎曼占据榜首毫无争议，这可能会让很多高斯粉、欧拉粉和牛顿粉不高兴，但从数学成就来看，黎曼在重要性、影响力和颠覆性突破方面远远超过高斯、欧拉和牛顿。换句话说，黎曼在数学上的成就大约等于高斯加欧拉加牛顿加庞加莱的和。他们；她们；它们

黎曼以下的数学家跟他差距很大，基本不在一个层次，除了庞加莱可以稍微接近拓扑难度。

黎曼是数学界最有影响力的数学家；

1.历史上唯一拥有全面统治力的数学家，没有一个！以黎曼命名的数学成果有81项，仅次于高斯和欧拉。数学成就不是黎曼的主要贡献。黎曼似乎对如何证明和发现各种数学分支的几十个定理兴趣不大。黎曼只从事统一几何、数论、分析等各种分支的数学工具，重新改变数学的概念和定义！其他数学家停留在发现和研究数学，而黎曼直接创造数学。

这就是为什么黎曼优于高斯、庞加莱、欧拉和牛顿的原因。黎曼所做的是数学史上最重要的工作，黎曼是唯一一个做这些工作的人。

很多人说黎曼的主要成就是为复变函数、非欧几何、解析数论、代数几何、拓扑学等学科创造和奠定基础，这当然伟大而形式化，但这种评价并不能准确评估黎曼的地位。如果黎曼只创造了许多新学科，他的数学成就和地位不会比欧拉、高斯、庞加莱、希尔伯特和牛顿更高。

创建许多数学分支并不是黎曼的核心成就。黎曼的辉煌来自于他创造这些分支时发明的方法和数学结构，但这些数学结构是连接几何、分析、拓扑、数论甚至物理的工具，如黎曼曲面、流形、黎曼罗奇定理和黎曼映射定理，这些都是直接连接数学和物理的最重要的数学工具。很难想象当代一流的数学家或理论物理学家不能使用这些工具

黎曼的创造性工作使他成为唯一一位主宰数论、几何和大数分析等分支，并为现代物理学提供了最强大的数学结构的超神数学家。唯一接近黎曼的是庞加莱。牛顿把分析和物理联系起来，但牛顿在数论、代数和几何方面的成就太低，根本达不到标准；

高斯、欧拉、柯西等人的成果涵盖了数论的代数几何分析，号称全才，但与黎曼的直接连接分支的工作相比，根本不是一个类的工作。

黎曼的一篇八页纸可以抹杀高斯除了算术探索和曲面几何以外的所有成就。阿贝尔和伽罗瓦从群论中画代的思想，不仅可以主宰数学的全局，还可以完美地链接物理学，本来可以和黎曼竞争。然而，他们短暂的一生却留下了数学史上最大的遗憾。

黎曼唯一的缺点是在代数群论方面没有建树，影响了他真正的统一数学领域，但他也留下了很大的建树。请不要忘记，黎曼-罗奇定理是现代抽象结构代数几何的中心！

2.历史上没有一位数学家最具创造力、洞察力和远见。

黎曼从来不以证明定理和爆炸计算能力出名，甚至不在乎证明的严格性。黎曼只自由创造！

黎曼曲面、流形、度量、曲率张量、亏格、参数模、模间空、力是几何、间空等等，这些在当时的数学中看似陌生的新概念和新概念，后来被证明是黎曼提出的新概念和新概念。这些都是开启数学物理的正确途径，是数学物理进入现代的基石。没有黎曼用空做出的这些奇奇怪怪的东西，现代数学和现代理论物理估计也就完了。相对论和量子场论大概是民间的学科，物理理论中最受欢迎的分支弦理论绝对没有了。

而这些奇怪的东西在黎曼的几十篇论文中随处可见。如果你发明了其中一个新概念，你将成为中国第一个数学家，甚至是世界上最顶尖的数学家！甚至他的子层次成就，如柯西黎曼条件、黎曼积分、黎曼施瓦茨定理、黎曼泽塔函数等等，都可以让任何一位数学家成为相关领域的顶尖学者！

高斯是古典数学的集大成者，启发了现代数学，但黎曼、伽罗瓦和阿贝尔却把数学引向了现代化，其中黎曼是现代数学和物理爆发的起源！

3.现代数学的奠基人，现代数学之王，对现代数学影响最深的学者，没有一个！

4.历史上没有一个数学家的思想和深度是最深的！我一生只有18篇论文，但其中包含的思想正在引领数学家走向一个新的境界。

黎曼的数学思想具有主导性、创造性、前沿性和指导性。它不仅发现金矿，还为后来的人们挖掘金矿提供了工具。从完备性和启发性来说都是历史第一，毫无争议！

5.黎曼改写了数学的语言、概念和定义。在黎曼之后，人们突然发现* *，原来数学也可以这样做，但是这样做出来的东西价值很大，沿着黎曼几十篇文章做出来的东西才是现代数学和理论物理的正确表达。这太重要了，思路的突破是决定性的。只有庞加莱、伽罗瓦和可怜的阿贝尔才能和黎曼抗衡！

6.它对当代物理学有着深远的影响。中国数学家丘成桐、陈省身和物理学家杨振宁都是黎曼的脑粉。丘成桐说，只要其中一个中国学生能完成黎曼论文的一部分，那个人就能成为中国最伟大的数学家。虽然有点夸张，但也显示了黎曼的巨大影响力。

扬-米尔斯理论的本质是黎曼-罗氏定理到目前为止的最终应用。这个黎曼-罗氏定理的每一次成功推广，都是数学和物理学的一大进步。当代最伟大的英国数学家阿蒂亚认为，扬-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗奇-格罗腾迪克定理的推广，与代数几何有关，同时直接将分析与拓扑和微分几何不变量联系起来。

数学金字塔Top3，深度黎曼，宽度高斯，难度庞加莱，黎曼站在高斯的肩膀上，完全超越了它。但在黎曼之后，数学大师庞加莱和格罗滕迪克都无法完全走出黎曼的阴影，奠定上述两人核心地位的拓扑学和代数几何原型都是由黎曼开创的，这只是黎曼成就的一部分。黎曼对发现新的数学理论和分支、解决难题不感兴趣，只提供新的数学概念。

黎曼的黑点:

1.当时的思想和方法太先进了，无法理解。虽然黎曼在去世前已经被公认为他那个时代最强的数学家之一，但这只是他的同龄人能够理解的工作。黎曼更重要的思想在他的论文中创造了奇怪的新概念，这是当时几位数学家都很难理解的。然而，黎曼开发的思维、方法和工具领域，近50年来，也就是半个世纪以来，一直是一个相对冷门的研究领域。更多的是作为一种自洽的几何，有几个意大利学者在玩，没有人认为它有用，而且它也不是数学的主流。比如黎曼猜想，半个世纪以来也吸引了很少的人。相比较而言，维勒斯特拉斯、雅可比、戴德金是数学的主流，阿贝尔和伽罗瓦的理论也逐渐成为主流。

而且，黎曼在证明某些事情上的不精确性，也让后来的数学家避开了上帝的利器黎曼曲面。幸运的是，那些意大利学者默默地坚持做这些无用的研究，而后人在克莱因、希尔伯特和庞加莱的支持下，黎曼终于回到了神坛。在重新发现黎曼的过程中，相关学者当然也获得了超丰厚的回报，尤其是相对论的诞生，直接让黎曼成为了数学史上的第一人。

2.当黎曼还活着的时候，他被公认为当时最强的数学家之一。但他的成就和地位都不及上一代人，如高斯·柯西、威勒斯特拉斯、雅可比、阿贝尔、伽罗瓦等人，他们的名声高于黎曼，甚至比不上狄利克雷、戴德金、爱森斯坦。这无疑大大低估了黎曼的实际成就。

当时看不清楚，但160年后回头看，黎曼是19世纪数学中最耀眼的一颗灿烂之星空的中心，光足以照亮整颗星空！

—结束—

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