伯努利双纽线 原创 无穷大的符号像双扭线 它们有关系吗

原标题:无限符号如双绞线。他们有血缘关系吗？

作者，极客学院，多多数学网络群友

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双绞线的形状相信大家都很熟悉。今天我们就来谈谈双绞线的各个方面。

1.作为数学对象的双纽线

双纽线或双纽线，其词源是拉丁语“lemniscus”，在古希腊语中指丝带。确切地说，双纽线是指数学中许多不同的带状图-8曲线，但一般指伯努利双纽线。它不仅是所有双纽线中最著名的，也是数学中内涵最丰富的几何对象之一。

在直角坐标系中，半径为A的伯努利双纽线由以下四次多项式方程表示

=a

例如，给定一个隐函数的图像

是半径为1的双纽线，其中半径是指从中心到最远端点的距离。

从定义中可以看出，双纽线是平面上四次多项式的零点，所以双纽线是四次平面曲线，也是代数曲线。稍微分析一下定义就知道，就像一个圆一样，不同半径的双纽线是相似的，换句话说，双纽线的形状是唯一的。利用一元二次方程的知识，通过计算很容易发现半径为1的双纽线高度为√2/4。

二、伯努利双纽线的诞生

双纽线的英文单词“双纽线”最早是由雅各布·伯努利用来描述他在1694年发现的双纽线。为了解决莱布尼茨的等时曲线问题，他想找到一条弧长函数与超越曲线相同的代数曲线，并提出了这条曲线。1694年9月，《教师杂志》发表了雅各布的研究。下图是雅各布在1695年12月发表的研究图片，描述了伯努利双纽线和等时曲线之间的关系:

巧合的是，雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利为了求解莱布尼茨等时曲线问题，独立发现了伯努利双纽线。然而，他的研究结果于1694年10月发表在《教师杂志》上，仅仅晚了一个月。毫无疑问，解决等时问题的优先权之争已经成为兄弟之间无数纷争之一。

值得一提的是，早在1680年，著名天文学家卡西尼就提出了一族曲线，即卡西尼椭圆线，试图描述地球与太阳的相对运动轨迹。伯努利双纽线是卡西尼椭圆线的特例，但毕竟卡西尼号由于发动机不同，一直没有注意到它，所以把伯努利双纽线的发现归结为数学史上的伯努利是完全合适的。

有资料指出，伯努利双纽线的诞生是椭圆定义的简单延伸，即两个不动点的乘积为常值的曲线。这个定义虽然正确自然，但与历史事实完全不符。这种曲线就是卡西尼椭圆线，但无论是伯努利双纽线还是卡西尼椭圆线，上述史料都告诉我们，历史上人们提出它的动机更强烈。在真正的数学中，提出几乎每一个重要概念的动机，都是只有研究数学史才能知道的强大动机。在数学中，提出几乎不重要的概念的动机仅仅是因为它的形式简单自然，因为它不足以让人们发展它。

第三，以双纽线为象征

毫无疑问，每个人看到伯努利双纽线后都会想到无穷大。无限的标记是否必须成长为伯努利双纽线是值得怀疑的，但没有这样的规则。

1655年，数学家沃利斯在他的著作中使用符号“∞”作为无穷大的符号:

令他失望的是，他根本没有解释。有一种猜测认为它在罗马数字中看起来像1000，也就是“ci”，因为它有时被用来表示“多”的概念，还有一种猜测认为它看起来像最后一个希腊字母“ω”。

虽然根据形状可以称之为双纽线，但这与此时的伯努利双纽线绝对没有关系，因为它是39年后才被发现的，两者之间仍然没有直接的关系。简而言之，用来表示无穷大的双纽线只是一个更好看的双纽线。双纽线作为一种符号，在社会文化中频繁出现，现在几乎无处不在。它不仅用来表达无限，而且逐渐承载了越来越多的含义，这些含义往往与各种神秘的概念有关。

可以相信，在沃利斯之前，双纽线并没有承载任何作为符号的意义。双纽线象征的一切一定是在沃利斯之后。

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