霍奇猜想只要解出这6道数学题你就可以获得600万美元

2022-01-06 19:06

在千禧年到来之前，数学经过几千年的发展，仍然有许多难题没有解决，影响了数学基础理论的发展。

因此，2000年，美国克莱数学研究所科学咨询委员会评选出7道“千年奖题”，每道“千年奖题”奖励100万美元。2000年5月24日，千年数学大会在著名的法国学院举行。会上，1997年菲尔兹奖获得者高尔斯华斯以“数学的重要性”为题发表了演讲。后来，约翰·泰特和迈克尔·阿蒂亚宣布并介绍了这七个“千年奖议题”。克莱数学研究所还邀请了相关研究领域的专家对每个问题进行了详细的描述。

我们需要知道什么是P类问题，什么是NP类问题。P类和NP类都指问题集。在多项式时间内，一个确定的图灵机可以解决的问题叫做P型问题。多项式时间界内不确定图灵机可以求解的问题称为NP类问题。

首先，数学已经知道“P类问题”属于“NP类问题”，即“NP类问题集”和“P类问题集”。很明显，一个问题可以用多项式时间复杂度来解决，当然也可以用多项式时间复杂度来验证。

但是反过来，一个可以用多项式时间复杂度验证的问题，可以用多项式时间复杂度算法来解决吗？也就是说所有的“NP问题”都属于“P问题”吗？这就是著名的“NP=P”问题。如果回答“是”，则表示“NP问题集”=“P问题集”；如果答案是“否”，则表示“NP问题集”和“P问题集”，但它们并不相等。

如果NP=P，会颠覆我们人类的世界，我们广泛使用的RSA加密算法也会失效。许多难以通过计算解决的问题可以通过算法优化轻松解决。

霍奇猜想

数学家们找到了一种非常实用的方法来获得更复杂的形状。基本思想是，我们可以在多大程度上通过将尺寸越来越大的简单几何构件粘合在一起来形成给定物体的形状。这项技术非常容易使用，可以通过许多不同的方式推广。

数学家们希望通过这种方法，能够以各种方式逐步展开，最终建立一套强大的代数方程或/和几何工具，从而将各种复杂的对象分类为一些特定的简单几何对象及其组合。这使得数学家在对他们研究中遇到的各种对象进行分类方面取得了很大的进展。

不幸的是，在这个扩展中，程序的几何起点变得模糊。在这个延伸过程中，几何起点变得模糊——从哪些简单的几何对象组合而成；什么是组合程序/序列？因此，必须增加一些没有任何几何解释的“非几何”基本模块。

基于这一困境，1958年，英国数学家、第十三届国际数学大会主席霍奇教授提出，任何霍奇类都可以表示为非奇异复射影代数簇空上代数闭链类的有理线性组合。简单来说，任何形状的任何几何图形，无论多么复杂，都可以用一堆简单的几何图形组合起来。

霍奇猜想甚至被数学界的一些数学家称为最难的数学问题。这个问题的表述是否严谨合理，在数学界仍有争议。有人甚至说，应该更准确地称之为胡乱猜测。

从1958年开始，霍奇猜想的研究进展几乎为零，唯一的突破性证明是美国数学家莱夫谢茨在霍奇猜想提出之前的1925年解决的。他证明了霍奇猜想的一种情况。

黎曼假设

黎曼猜到了什么？是一种寻找质数的方法。

通过研究，黎曼发现了素数的频率，提出了黎曼Zeta函数，它是无穷级数的和。

ζ函数

黎曼证明了解析扩展泽塔函数有两种零点。其中一个是三角sin函数的周期零点，称为平凡零点；另一个是Zeta函数本身的零点，称为非平凡零点。黎曼对非平凡零点提出了三个命题。

在第一个命题中，黎曼指出了非平凡零点的个数，并确定它们分布在实部大于0但小于1的带状区域。

在第二个命题中，黎曼提出几乎所有的非平凡零点都位于实部等于1/2的直线上。

第三个命题是亮点:所有非平凡的零都有可能位于实部等于1/2的直线上。

黎曼猜想涉及质数。一旦素数的秘密被解开，量子计算机就不需要了。根据其原理，甚至可以破解现代银行的安全密码系统，让它们破产。

不仅是银行，现在几乎所有的互联网加密方式都将不再安全，互联网将成为裸奔世界的解决方案。

因此，数学家把攻击黎曼猜想的道路称为:“总统们在银行保险柜前瑟瑟发抖，而许多黑客则潜伏在键盘上，随时准备出发”。

扬-米尔斯的存在和质量差距

1954年初，和罗伯特·米尔斯提出了杨·米尔斯的理论。在此基础上，科学家们实现了强、弱相互作用和电磁相互作用的统一。爱因斯坦后半生苦苦思索的统一场论直到去世才得以实现，但杨振宁的杨米尔斯理论实际上一举统一了宇宙四种基本力中的三种。

Young Mills理论中的Young方程取得了很大的成功，但其对应的数学理论尚未建立。他们的方程描述了重粒子，在数学上是严格的，没有已知的解。

特别是被大多数物理学家证实并应用于解释“夸克”不可见性的“质量间隙”假说，从未得到令人满意的数学证明。这个假说解释了为什么电子有质量。质量差距假说的完全解决将提供严格的理论证明，并澄清物理学家尚未完全理解的自然的基本方面。以前，物理学家只能观察电子的质量，却无法解释电子的质量来自哪里。这个问题的进展需要在物理和数学中引入基本的新思想。

五个夸克粒子

Young-Mills存在性和质量间隙的形式表达式是证明对于任何紧致的简单规范群，四维欧几里德空中的Young-Mills方程都有一个预测质量间隙存在性的解。

纳维尔-斯托克斯方程的存在性与光滑性

与黎曼猜想、费马定理和哥德巴赫猜想相比，纳维尔-斯托克斯方程的存在性很低。即使在世界千年七大问题中，也很少有人提及。最重要的原因是这个问题真的不容易理解。

1775年，著名数学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中，根据无粘流体运动时的力和动量的变化，推导出一组方程。方程如下: y = f ，这是无粘流体动力学中最重要的基本方程。

1821年，著名工程师纳维德推广了欧拉流体运动方程，考虑了分子间力，从而建立了流体平衡和运动的基本方程。这个方程只包含一个粘度常数。

1845年，斯托克斯从连续介质模型中改进了他的流体动力学运动方程，得到了具有两个粘度常数的粘性流体运动方程的直角坐标分量形式，后来称为纳维尔-斯托克斯方程。

纳维尔-斯托克斯方程是描述液体和空气体等流体物质的一组方程。这些方程建立了流体粒子动量变化率与液体内部压力变化、粘性力耗散和吸引力之间的关系。

这组方程涉及的难题是如何用数学理论阐明这组方程。因此，与纳维尔-斯托克斯方程解的数学性质相关的数学问题称为纳维尔-斯托克斯方程解的存在性和平滑性。

BSD猜想

BSD猜想，Behr猜想和Swenaton-Dale猜想的全称，描述了Abelian簇的算术和分析性质之间的联系。

这个问题的表达式是这样的:给定一个全局域上的Abelian簇，猜想它的模态群的秩等于它的L函数在1处的零点的阶，它的L函数在1处的泰勒展开的第一个系数与模态群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位置的周期和砂群有精确的相等关系。